\section{哈密顿方程}
\begin{equation*}
    \dL = \pLp{q_i}\dq_i+\pLp{\dotq_i}\rmd \dotq_i=\dotp_i \dq_i +p_i\rmd\dotq_i
\end{equation*}
第二项利用分部微分写作
\begin{equation*}
    p_i\rmd \dotq_i = \rmd(p_i \dotq_i)-\dotq_i \dpi
\end{equation*}
\begin{definition}[][哈密顿函数]
    \textbf{Hamiltonian function}\quad 哈密顿函数是拉格朗日函数的\textbf{勒让德变换}
    \begin{equation}
        H = p_i \dotq_i-L
    \end{equation}
\end{definition}
\begin{definition}[][哈密顿方程]
    \textbf{Hamiltonian equation}\quad 由哈密顿函数的全微分可得到
    \begin{equation}
        \dotq_i=\pHppi,\quad \dotp_i=-\pHpqi.
    \end{equation}
\end{definition}

\begin{cor}
    \begin{equation}
        \ddt{H}=\pfp{H}{t}
    \end{equation}

    若$H$不显含$t$，则
    \begin{equation}
        \ddt{H}=0
    \end{equation}
    可得到能量守恒。
\end{cor}

\section{泊松括号}
$f(p,q,t)$是一个函数，其全导数为
\begin{equation*}
    \ddt{f}=\pfp{f}{t}+\pfp{f}{q_k}\dotq_k+\pfp{f}{p_k}\dotp_k
\end{equation*}
代入哈密顿方程
\begin{equation}
    \ddt{f}=\pfp{f}{t}+\poss{H}{f}
\end{equation}
\begin{definition}[][泊松括号]
    \textbf{Poisson bracket}\quad
    \begin{equation}
        \poss{H}{f}=\pHppi\pfp{f}{q_i}-\pHpqi\pfp{f}{p_i}
    \end{equation}
    称为$H$,$f$的泊松括号。
\end{definition}
\begin{cor}

    交换律(对易规则)
    \begin{equation}
        \poss{f}{g}=-\poss{g}{f}
    \end{equation}

    \begin{equation}
        \poss{f}{c}=0
    \end{equation}
    加法分配律
    \begin{equation}
        \poss{f_1+f_2}{g}=\poss{f_1}{g}+\poss{f_2}{g}
    \end{equation}
    乘法分配律
    \begin{equation}
        \poss{f_1f_2}{g}=f_1\poss{f_2}{g} + \poss{f_1}{g}f_2
    \end{equation}
    \begin{equation}
        \pfp{\poss{f}{g}}{t} = \poss{\pfp{f}{t}}{g}+\poss{f}{\pfp{g}{t}}
    \end{equation}
    \begin{equation}
        \poss{f}{q_k}=\pfp{f}{p_k},\poss{f}{p_k}=\pfp{f}{q_k}
    \end{equation}
    \begin{equation}
        \poss{q_i}{q_k}=0,\poss{p_i}{p_k}=0,\poss{p_i}{q_k}=\delta_{ik}
    \end{equation}
    雅可比恒等式
    \begin{equation}
        \poss{f}{\poss{g}{h}}+\poss{g}{\poss{h}{f}}+\poss{h}{\poss{f}{g}}=0
    \end{equation}
\end{cor}

\begin{theorem}[][泊松定理]
    \textbf{Poisson's theorem}\quad 两个运动积分的泊松括号也是运动积分。
\end{theorem}
\begin{definition}[][正则变换]
    \textbf{Regular transformation}\quad
    哈密顿方程里的$p,q$可以变换为$Q_i=Q_i(p,q,t),P_i=P_i(p,q,t)$。其中满足
    \begin{equation*}
        p_i \dqi - H\dt=P_i\rmd Q_i-\prH \dt +\rmd F.
    \end{equation*}
    的称为正则变换。$F$称为正则变换的母函数。
    有四类类母函数：
    \begin{enumerate}
        \item $F=F(q,Q,t)$
        \item $G=G(p,Q,t)$
        \item $\Phi = \Phi(q,P,t)$
        \item $\Psi = \Psi(p,P,t)$
    \end{enumerate}
    其中$F,G$以及$\Phi,\Psi$互为勒让德变换。
\end{definition}

\begin{cor}

    正则变换前后，泊松括号不变。
    \begin{equation}
        \poss{f}{g}_{p,q}=\poss{f}{g}_{P,Q}
    \end{equation}
\end{cor}
\section{刘维尔定理}
\begin{definition}[][相空间]
    \textbf{phase space}\quad
    相空间是以所涉及的力学系统的$s$个广义坐标和$s$个广义动量为坐标轴的$2s$维空间.
    相空间的每个点对应于系统的一个确定状态.
    当系统运动时,表示系统状态的相点在相空间中画出的曲线称为\textit{相轨道}.
\end{definition}

\begin{definition}[][雅可比行列式]
    \textbf{Jacobian}\quad
    \begin{equation*}
        D=\pfp{Q_1,\cdots,Q_s,P_1,\cdots,P_s}{q_1,\cdots,q_s,p_1,\cdots,p_s}
    \end{equation*}
    为变换的雅可比行列式。对正则变换有：
    \begin{equation*}
        D=1
    \end{equation*}
\end{definition}

\begin{theorem}[][刘维尔定理]
    \textbf{Liouville's theorem}\quad
    现在我们想象在相空间中有一个小区域,其中的每个点按照力学系统的运动方程随时间运动.
    因此这个区域也整体地运动.这个区域的体积保持不变。即 
    \begin{equation}
        \int \rmd\Gamma = C
    \end{equation}
\end{theorem}